4.4. Методы стохастического факторного анализа

На практике далеко не все экономические явления и процессы могут изучаться с помощью методов детерминированного факторного анализа. Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известны все факторы, определяющие значение результативного показателя (зависимого признака), а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.

В соответствии с жестко детерминированным представлением о функционировании экономических систем любое действие вызывает строго определенный результат, случайными (не-предвиденными заранее) воздействиями при этом пренебрегают. Однако многие экономические явления имеют вероятност-ный характер. Дополнением детерминированного факторного анализа является стохастическое моделирование. Под стохастической связью понимается связь между величинами, при которой одна их них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины х или величин х , х , ... , хп (случайных или неслучайных) изменением закона распределения. Это происходит из-за того, что зависимая переменная (результативный показатель), кроме рассматри-ваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неизбежных ошибок измерения переменных. Так как значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, то они могут быть определены только с некоторой вероятностью. При этом стохастические связи имеют свои особенности, они состоят в том, что такие связи проявляются во всей со-вокупности, а не в каждой ее единице. Проявление стохасти-ческих связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайные взаимопогасятся и за-висимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо. Частным случаем стохастической связи является корре-ляционная связь, при которой различным значениям одной или нескольких случайных величин соответствуют разные средние значения случайной величины результативного показателя. Приемы корреляционного анализа, позволяющего уста-новить связь между показателями и измерить ее тесноту, достаточно широко применяются в экономическом анализе.

Корреляционный анализ позволяет решить следующие задачи: измерить тесноту известной связи между варьирующими показателями, установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора. Регрессионный анализ является методом установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми показателями. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется результативный (зависимый) показатель (у) при изменении любого из независимых факторов (х ). В ходе регрессионного анализа решаются две задачи: построение уравнения регрес- сии, которое и является факторной моделью, и оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию резуль-тативного показателя (у). В отличие от корреляционного анализа, который только отвечает на вопрос, существует ли связь между анализируемыми показателями, регрессионный анализ дает ее формализованное выражение. Кроме того, корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь показателей, а регрессионный — причинно-следственную зависимость, т.е. одностороннюю, показывающую, каким образом изменение факторных признаков влияет на результативный показатель. В зависимости от направления действия связи и в детерми-нированном, и в стохастическом анализе могут быть прямыми и обратными. При прямой связи имеет место однонаправленное изменение фактора и результативного показателя, т.е. при росте фактора результативный показатель растет, при снижении фактора — снижается. При обратной связи изменения фактора и результативного показателя являются разнонаправленными, т.е. при росте фактора результативный показатель снижается, при снижении фактора — растет. В зависимости от количества факторов, влияющих на результативный показатель, различают однофакторные и многофакторные взаимосвязи. Взаимосвязь между одним фак-тором и результативным показателем устанавливает парная корреляция, взаимодействие нескольких факторов с результа-тивным показателем — множественная. В зависимости от формы связи различают прямолинейную (линейную) и криволинейную связи.

Линейная связь описывается уравнением прямой и характеризует непрерывное пропорциональное изменение результативного показателя в зависимости от изменения фактора, причем эта связь может быть как прямой, так и обратной. При криволинейных связях результативные показатели могут неравномерно, непропорци-онально меняться либо в том же направлении, что и факторы, либо в другом. От форм связи непосредственно зависит вид факторной модели (уравнения регрессии). Подбор вида математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер из-учаемой связи, играет важную роль в корреляционном анализе, так как от правильности выбора уравнения регрессии зависит ход решения задачи и результаты расчетов. При изучении связи экономических показателей достаточно часто используют уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи, которое имеет вид у = а + Ьх, где у — результативный показатель; х — фактор; a, b — параметры (коэффициенты) уравнения регрессии, которые необходимо определить. Коэффициент парной линейной регрессии (Ь) имеет смысл показателя силы связи между вариацией фактора (х) и вариацией результативного показателя (у). Уравнение регрессии показывает среднее значение изменения результативного показателя (у) при изменении фактора х на одну единицу его измерения, т.е. вариацию (у), приходящуюся на единицу вариации (х). Знак (Ь) указывает направление этого изменения. Параметры уравнения регрессии находят методом наи-меньших квадратов. При использовании данного метода в ка-честве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений, т.е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных у от выравненных: п ~ а ~ bx.)2 —» min. i = 1 Для нахождения минимума данной функции ее частные производные приравниваются к нулю, в результате чего по-лучается система двух линейных уравнений { п п n i = 1 n i = 1 п i = 1 i = 1 i = 1 где n — количество наблюдений. Решив эту систему, получим: п п п nXx.y.-IXXx b = -i^i 1=1 i=l • n n J n?xf -(Ex,f i = 1 i = 1 a = у - bx. Построим однофакторное уравнение регрессии зависимости заработной платы за месяц (у) от стажа работы рабочих (х) по данным таблицы 4.5. Таблица 4.5 Распределение рабочих по заработной плате и стажу работы i ФИО Стаж работы (х), годы Заработная плата за месяц (у,), руб. 1 Анисимов В.П. 1 9000 2 Бунеев А.И. 12 13000 3 Князев А.Е. 7 12500 4 Краснов В.В. 5 12000 5 Лапин А.Л. 5 11000 6 Морозов Д.А. 7 11500 7 Никонов В.В. 9 14500 8 Павлов Д.Е. 15 13000 9 Привалов А.Н. 3 10000 10 Самохвалов В.Н. 15 13500 11 Серов А.И. 12 13000 12 Соколов П.А. 1 8000 13 Тимофеев С.И. 9 13000 14 Щетинин Н.А. 2 9000 15 Яшин В.Д. 9 12500 Из данных таблицы 4.5 видно, что заработная плата с уве-личением стажа работы растет, однако эта зависимость не является прямо пропорциональной.

Заработная плата зависит не только от стажа, но и от других факторов (квалификации рабочих, производительности труда, его качества, соблюдения трудовой дисциплины и т.п.). Парная корреляция учитывает только один фактор, поэтому мы видим, что рабочий с меньшим стажем может получать больше, чем рабочие с большим стажем (например, зарплата Никонова В.В. максимальна, хотя несколько рабочих имеют больший стаж работы). Так как зависимость заработной платы от стажа работы нельзя выразить жестко детерминированной моделью, установим прямую линейную корреляционную связь. Для определения параметров уравнения регрессии (а) и (Ь) по приведенным выше формулам нам потребуются производные от х (стажа) и у (зара-ботной платы) величины, которые представлены в таблице 4.6. Таблица 4.6 Расчет производных величин для определения параметров уравнения регрессии и коэ( эфициента корреляции i X У: хх у. X2. У2| 1 1 9000 9000 1 81000000 2 12 13000 156000 144 169000000 3 7 12500 87500 49 156250000 4 5 12000 60000 25 144000000 5 5 11000 55000 25 121000000 6 7 11500 80500 49 132250000 7 9 14500 130500 81 210250000 8 15 13000 195000 225 169000000 9 3 10000 30000 9 100000000 10 15 13500 202500 225 182250000 11 12 13000 156000 144 169000000 12 1 8000 8000 1 64000000 13 9 13000 117000 81 169000000 14 2 9000 18000 4 81000000 15 9 12500 112500 81 156250000 Итого 112 175500 1417500 1144 2104250000 i = 1 i = 1 — 15х 1417500-112 х175500 ^ 2 n2 15x 1144 -12544 i = 1 i = 1 a = y-bx= 11700 - 348 x 7,47 = 9100. = 348. п п Yxv Xх Х>' b =¦ ? Таким образом, уравнение регрессии (искомая факторная модель) имеет вид: у = 9100 + 348 хх. Эта модель показывает, что с увеличением стажа работы на год месячная заработная плата рабочего возрастает в среднем на 348 руб. Далее в полученное уравнение можно подставить любые значения стажа работы и получить средние расчетные значения заработной платы, а также рассчитать отклонения фактических данных от расчетных значений (таблица 4.7). Таблшщ 4.7 Сравнительный анализ фактической и расчетной заработной платы рабочих ' ФИО Заработная плата за месяц (у.), руб. Отклонение (гр. 4-гр. 3) расчетная фактическая 1 2 3 4 5 1 Анисимов В.П. 9449 9000 -449 2 Бунеев А.И. 13278 13000 -278 3 Князев А.Е. 11538 12500 962 4 Краснов В.В. 10842 12000 1158 5 Лапин А.Л. 10842 11000 158 6 Морозов Д.А. 11538 11500 -38 7 Никонов В.В. 12234 14500 2266 8 Павлов Д.Е. 14322 13000 -1322 9 Привалов А.Н. 10145 10000 -145 10 Самохвалов В.Н. 14322 13500 -822 11 Серов А.И. 13278 13000 -278 12 Соколов П.А. 9449 8000 -1449 13 Тимофеев С.И. 12234 13000 766 14 Щетинин Н.А. 9797 9000 -797 15 Яшин В.Д. 12234 12500 266 Итого 175502* 175500 -2 * Расхождения в итоговых суммах обусловлены округлениями в расчетах. Отклонения средних расчетных величин результативного показателя от фактических значений могут быть обусловлены недостаточно тесной связью между фактором (стажем работы) и результативным показателем (заработной платой). В связи с этим следует оценить степень тесноты связи, т.е. степень адекватности полученной факторной модели. С этой целью рассчитывается коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции между результативным пока-зателем у и фактором х определяется по формуле п п v ?Х|?У| г =- (Ы \с Syf-^ '» (Iх) Ы п Для нашего примера коэффициент корреляции равен 112 х 175500 1417500 Г5 Ю7100 г = 10 = = 0,86 1122Y0 „0 175500 125154,4 2104250000 - Линейный коэффициент корреляции принимает значения в интервале от —1 до +1. Чем ближе его значение к единице, тем теснее связь, т.е. тем более значимым является исследуемый фактор для результативного показателя. При г = 0 связь от-сутствует. В рассматриваемом примере значение коэффициента корреляции достаточно близко к единице, что свидетельствует о существенной тесноте взаимосвязи между стажем работы и величиной заработной платы. Уравнение парной корреляции показывает, что при увели-чении стажа работы на один год зарплата рабочего в среднем увеличивается на 348 руб. Для того чтобы оценить это увели-чение в процентах, используют коэффициент эластичности, рассчитываемый по формуле: 15? У Подставив в эту формулу соответствующие значения для нашего примера получаем: 7,47 э= 348 х — = 0,22. 11700 Коэффициент эластичности 0,22 означает, что при увели-чении стажа работы на 1% следует ожидать повышения зара-ботной платы на 0,22%. Представленные в таблице 4.7 отклонения фактической за-работной платы от ее средних расчетных значений показывают, что наибольший перерасход по зарплате наблюдается, как мы уже отмечали, у Никонова В.В. Причинами этого могут быть другие факторы, которые оказывают влияние на величину заработной платы наряду со стажем работы, например, квали-фикация рабочего или производительность труда. Следует заметить, что парная корреляция часто дает весьма одностороннее представление о причинах изменения анализируемого результативного показателя. Устранить этот недостаток позволяет многофакторный корреляционно- регрессионный анализ. Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ проводится в несколько этапов: вначале выбираются факторы, стохастически влияющие на результативный показатель; затем строится многофакторная модель (уравнение многофакторной регрессии); рассчитываются параметры модели; измеряется теснота взаимосвязи и оцениваются полученные результаты. Как видим, порядок проведения многофакторного корреляционно-регрессионного анализа аналогичен порядку однофакторного анализа. Для многофакторной линейной зависимости между п фак-торами и результативным показателем уравнение регрессии имеет вид: у = а + Ьх, + сх„ +... + wx . ^ 12 п Нами была исследована зависимость заработной платы рабочих от стажа работы. Однако очевидно, что на величину заработной платы прямое влияние должна оказывать и ква-лификация рабочих (разряд). Поэтому можно построить двух- факторную регрессионную модель вида у = а + Ьх, + сх2. Параметры уравнения регрессии a, b и с находятся путем решения системы уравнений: ' п п п an + b?xs+ с?ха = ?у;; n i — 1 n i — 1 n i — 1 п <а Zxn +b IX+ с I*A = Z ил, i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 n n n 2 n a ?x2l + b ?хахц+ x2i Уа x;, I i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 В таблице 4.8 приведены исходные данные для построения двухфакторной модели. Таблица 4.8 Распределение рабочих по заработной плате, стажу работы и квалификации i ФИО Стаж работы (х^), годы Разряд (х2|) Заработная плата за месяц (у:), руб. 1 Анисимов В.П. 1 3 9000 2 Бунеев А.И. 12 6 13000 3 Князев А.Е. 7 5 12500 4 Краснов В.В. 5 4 12000 5 Лапин А.Л. 5 3 11000 6 Морозов Д.А. 7 4 11500 7 Никонов В.В. 9 5 14500 8 Павлов Д.Е. 15 5 13000 9 Привалов А.Н. 3 3 10000 10 Самохвалов В.Н. 15 6 13500 11 Серов А.И. 12 5 13000 12 Соколов П.А. 1 2 8000 13 Тимофеев С.И. 9 6 13000 14 Щетинин Н.А. 2 3 9000 15 Яшин В.Д. 9 5 12500 Для определения параметров уравнения регрессии необ-ходимо решить систему уравнений: 15а + 112b + 65с = 175500; 112а + 1144b +559с = 1417500; 65а + 559Ь +305с = 791500. Расчет параметров уравнения регрессии можно проводить и с использованием статистической функции ЛИНЕИН MS Excel. Так, для нашего примера а = 6706; b = 122,79; с = 940,90. Искомое уравнение регрессии будет иметь вид у = 6706 + 122,79х1 + 940,90Х2. Анализируя полученное уравнение, можно оценить степень влияния каждого фактора на результативный показатель. Так, с увеличением стажа работы на один год следует ожидать повышения заработной платы на 123 руб. в месяц, а повышение квалификации на один разряд приведет к увеличению заработной платы в среднем на 941 руб. Подставив в уравнение регрессии соответствующие значе-ния факторов, получим расчетные значения среднемесячного заработка (таблица 4.9). Таблица 4.9 Сравнительный анализ фактической и расчетной заработной платы рабочих i ФИО Заработная плата за месяц (руб.) Отклонение (гр. 4 - гр. 3) расчетная (yxi) фактическая (у:) 1 2 3 4 5 1 Анисимов В.П. 9651 9000 -651 2 Бунеев А. И. 13825 13000 -825 3 Князев А. Е. 12270 12500 230 4 Краснов В.В. 11084 12000 916 5 Лапин A. J1. 10143 11000 857 6 Морозов Д.А. 11329 11500 171 7 Никонов В.В. 12516 14500 1984 8 Павлов Д.Е. 13252 13000 -252 9 Привалов А.Н. 9897 10000 103 10 Самохвалов В.Н. 14193 13500 -693 11 Серов А.И. 12884 13000 116 12 Соколов П.А. 8711 8000 -711 13 Тимофеев С.И. 13457 13000 -457 14 Щетинин Н.А. 9774 9000 -774 15 Яшин В .Д. 12516 12500 -16 Итого 175502 175500 -2 Если сравнить полученные результаты с результатами проведенного ранее однофакторного корреляционно- регрессионного анализа, можно увидеть, что по-прежнему наибольший перерасход по заработной плате наблюдается у Никонова В.В., отклонение это уменьшилось, но при этом Яшин В.Д., имеющий такой же стаж и разряд, как и Никонов В.В., получает заработную плату, практически равную расчетной. Это означает, что величина заработной платы определяется не только стажем и квалификацией рабочих. После построения уравнения регрессии необходимо про-верить его значимость, т.е. с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной. В статистике разработаны методы строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев. Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения, называемого средней ошибкой аппроксимации (е) : -=1у|х-Ух!|х100) П1 = 1 У; где у — фактическое значение результативного показателя; ух — расчетное значение результативного показателя. Модель считается адекватной, т.е. пригодной для практи-ческого использования, если средняя ошибка аппроксимации не превышает 15%. Для нашего примера средняя ошибка аппроксимации равна __ 1 Л9000 - 9651| + |13000 - 13825| + + |12500 - 1251бП _ 15 [ 9000 13000 12500 J Следовательно, расчетные значения результативного по-казателя удалены от фактических в среднем на 5%, что позво-ляет сделать вывод о возможности использования полученной модели в прогнозных целях и для факторного анализа. Из уравнения регрессии видно влияние каждого фактора на результативный показатель, однако факторы измеряются в разных единицах и потому между собой не сопоставимы. Для сравнения влияния факторов на результативный показатель могут быть использованы частные коэффициенты эластич-ности, которые показывают, на сколько процентов изменяется результативный показатель при изменении соответствующего фактора на 1%. Влияние остальных факторов при этом не изме-ряется. Частные коэффициенты эластичности рассчитываются так же, как для парной корреляции: для фактора х — э = Ь^1 У для фактора х2 — э2 = с В нашем примере: 7 47 э = 122,79— = 0,08; 1 11700 4 э = 940,90— = 0,35. 11700 Следовательно, наибольшее влияние на увеличение за-работной платы оказывает рост квалификации рабочих. В заключение следует отметить, что распространенность линейных моделей объясняется относительной легкостью их интерпретации. Решение задач многофакторного анализа, особенно при наличии нелинейной связи, предполагает при-менение достаточно сложных вычислительных процедур, однако существуют специальные программные средства, позволяющие аналитикам стоить многофакторные модели. При этом выбор аппроксимирующей математической функции осуществляется, как правило, перебором решений, наиболее часто применяемых в корреляционно-регрессионном анализе.

<< | >>

↑

Источник: О.Н. Гальчина Т.А. Пожидаева. ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 2009

Еще по теме 4.4. Методы стохастического факторного анализа:

- Информатика для экономистов - Антимонопольное право - Бухгалтерский учет и контроль - Бюджетна система України - Бюджетная система России - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики в России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инновации - Институциональная экономика - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Кризисная экономика - Лизинг - Логистика - Математические методы в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоговое право - Организация производства - Основы экономики - Политическая экономия - Размещение производительных сил (РПС) - Региональная и национальная экономика - Страховое дело - Теория управления экономическими системами - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Экономика зарубежных государств - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая безопасность - Экономическая география - Экономическая демография - Экономическая статистика - Экономическая теория и история - Экономический анализ -

- Аудит - Банки - Бизнес - Бухгалтерский учет - Макро и Микроэкономика - Маркетинг - Менеджмент - Философия - Финансы - Экономика -